期末速通版 · 但不偷工减料

把一学期博弈论压成一份能从头读到尾的复习讲义。

阅读顺序建议：先看“一张总图”和“解题工具箱”，再按目录复习。例题块给出考试时该怎么想，而不是只给答案。

核心对象参与人、策略、信息、支付、均衡。
核心动作找最优反应，剔除不合理威胁，更新信念。
核心难点个人理性与集体理性、信息不对称、承诺可信性。

0. 一张总图

博弈论研究的是互动决策：你的最优选择取决于别人如何选择，而别人也在预测你。考试中先判断博弈属于哪一类，再选均衡概念。

行动顺序 / 私人信息 无私人信息 有私人信息
同时行动 完全信息静态博弈：纳什均衡 不完全信息静态博弈：贝叶斯纳什均衡
先后行动 完全信息动态博弈：子博弈精炼纳什均衡 不完全信息动态博弈：精炼贝叶斯均衡、信号博弈
考试口诀 同时行动看“最佳回应”；先后行动从后往前推；有私人信息先写类型和信念；反复互动再问未来惩罚能不能支持合作。

1. 理性、偏好与共同知识

博弈的基本构成

  • 参与人：做决策的主体，可以是个人、企业、国家、群体。
  • 策略：在所有可能情形下的完整行动计划。动态博弈中，未到达的信息集也要规定行动。
  • 支付：参与人关心的结果评价，不限于金钱，也可包含尊严、声誉、公平、风险。
  • 信息：参与人知道什么，包括行动历史、类型、支付函数和信念。
  • 均衡：每个人在给定他人策略时都没有单方面偏离的动机。

理性人假设

理性人有明确偏好，并在约束条件下最大化自己的偏好满足。偏好通常要求完备性和传递性；约束包括财富、技术、制度、信息等。

常考辨析 “理性”不是只爱钱。若一个人为了荣誉、内疚、社会认可而行动，只要这些进入他的偏好，他仍可能是理性的。

不确定性与预期效用

在不确定环境中，选择的价值通常是不同状态下效用的概率加权平均。风险态度分为风险厌恶、风险中立、风险偏好。

例题：带伞或卖画 若一幅画有 25% 概率值 10000 美元，75% 概率值 2000 美元，期望货币价值为 0.25×10000+0.75×2000=4000 美元。若有人出价 3500，风险中立者会拒绝；风险厌恶者可能接受，因为确定收入能减少风险成本。

共同知识与理性共识

共同知识不是“大家都知道”这么简单，而是大家知道，大家知道大家知道，并无限递归。许多博弈预测与现实偏离，原因正是现实中共同知识不足。

  • 零阶：每个人理性
  • 一阶：每个人知道别人理性
  • 二阶：每个人知道别人知道自己理性
  • 无穷阶：共同知识

2. 完全信息静态博弈

标准式表达

完全信息静态博弈可写作参与人集合、策略空间、支付函数。双人有限博弈常用支付矩阵表示。

优势策略与劣势策略

  • 严格优势策略：无论对方怎么选，它都比其他策略好。
  • 弱优势策略：无论对方怎么选至少不差，且某些情况下更好。
  • 劣势策略剔除：反复删除永远不如其他策略的选择，直到剩下可理性化策略。

纳什均衡

纳什均衡是互为最优反应的策略组合。它不一定帕累托最优，也不一定唯一；有限博弈至少存在一个纳什均衡，可能是混合策略均衡。

对策略组合 s*，若对每个参与人 i，都有 u_i(s_i*, s_-i*) ≥ u_i(s_i, s_-i*)，则 s* 是纳什均衡。

求解方法

  1. 画支付矩阵或列出策略组合。
  2. 固定对手策略，标出自己的最大支付。
  3. 双方最佳回应交叉处即纯策略纳什均衡。
  4. 若没有纯均衡，考虑混合策略。

3. 混合策略与不确定性

纯策略是在一个信息情况下选择确定行动；混合策略是按概率随机选择行动。混合的目的不是“随便选”，而是让对手在各纯策略之间无差异，从而无法被针对。

例题：NBA 投篮 / 突破 Kobe 有投篮和突破，Pierce 有防投篮和防突破。若 Kobe 投篮概率为 p，Pierce 在两种防守策略下的期望收益相等：15p-5 = 3-8p，得 p = 8/23。反过来，Pierce 防投篮概率 q 使 Kobe 投篮与突破收益相等：5-15q = 8q-3，得 q = 8/23。均衡为双方均以 8/23 选择“投篮/防投篮”，以 15/23 选择“突破/防突破”。
解题关键 混合策略均衡里，被正概率使用的纯策略必须给参与人相同期望收益；没有被使用的策略收益不能更高。
例题：礼貌过门 两人都可“先走”或“等待”。该协调博弈有两个纯策略均衡：一人先走、另一人等待；同时还可能有混合均衡。混合均衡通常不稳定，且期望收益可能低于纯协调均衡，因为存在撞上或都等待的概率。

4. 囚徒困境与社会两难

囚徒困境

囚徒困境说明个人理性可能导致集体非理性。每个囚徒都有坦白的占优策略，因此均衡是“都坦白”；但“都不坦白”对两人总体更好。

一般囚徒困境可记为：诱惑收益 T > 合作收益 R > 惩罚收益 P > 受骗收益 S，且 2R > T + S。

社会两难

社会两难是存在占优策略均衡，但采用均衡策略的收益比非均衡合作结果差。典型例子包括努力困境、公共地悲剧、政治家增税困境。

例题：公共地悲剧 每个牧人多放一头牛时，新增收益归自己，过度放牧成本由所有人分摊。个体边际收益大于个体边际成本，于是每个人都扩张，最终公地被耗尽。制度安排、产权、配额、惩罚和重复关系都是解决方案。

合作解与非合作解

非合作博弈强调独立决策与个人理性；合作博弈强调能否达成有约束力的协议与集体理性。两者区别不在于参与人是否“友好”，而在于协议是否可执行。

5. 完全信息动态博弈

扩展式博弈

动态博弈用博弈树表示：节点是决策点，枝是行动，终点给出支付。策略必须规定每个信息集上的行动。

序贯理性与不可置信威胁

动态博弈中，纳什均衡可能包含事后不会执行的威胁。序贯理性要求在每个到达的决策节点都选择最优行动。

例题：绩效考核博弈 经理先给“及格/不及格”，员工后选择“申诉/接受”。普通标准式可能给出三个纳什均衡，但其中两个依赖员工事后不愿执行的申诉威胁。用子博弈精炼剔除不可置信威胁后，合理均衡是经理给不及格，员工在两种情形下都接受。

子博弈精炼纳什均衡

SPE 要求策略组合不仅在原博弈是纳什均衡，在每个子博弈中也是纳什均衡。有限完美信息博弈通常用逆向归纳求解。

  1. 从最后一个决策节点开始。
  2. 求该节点行动者的最优选择。
  3. 把该子博弈替换为相应支付。
  4. 逐层向前推到初始节点。

承诺、威胁与法律

承诺是改变未来选择空间或选择成本，使原本不可置信的行动变得可信。订金、抵押物、固定资产、合同、法律都可能是承诺装置。承诺的本质是有时“选择少反而更有利”。

6. 讨价还价

共同利益与利益冲突

讨价还价是正和博弈：达成协议双方都有好处，但双方偏好的分配点不同。核心问题是合作剩余如何分配。

纳什合作解

设总价值为 V，不能达成协议时 A 得 a、B 得 b，合作剩余 S = V-a-b。纳什合作解在帕累托有效等条件下最大化纳什福利函数。

max (x-a)^h (y-b)^k，约束 x+y=V。若谈判力 h=k，则合作剩余平均分配。
例题：画家与拍卖商 画售价 V=3000；画家自己卖得 a=1000；拍卖商做别的事得 b=500。合作剩余 S=1500。若谈判力相等，双方各得 750 的剩余，所以画家 x=1750，拍卖商 y=1250。

轮流出价与耐心

非合作讨价还价把谈判看成动态博弈。谁先出价、是否有限期、谁更有耐心、拖延成本多大，都会影响分配。

两期谈判：A 第一轮给 B 至少 b，均衡为 x=1-b, y=b。无限期轮流出价：x=(1-b)/(1-ab), y=b(1-a)/(1-ab)。
结论 有最后期限时可能出现后动优势；无限期且耐心相同时，先出价者有先动优势。越有耐心，谈判力越强。

7. 重复博弈与合作

为什么重复能产生合作

一次囚徒困境中合作难以维持；若未来足够重要，今天背叛会失去未来合作收益，合作可成为均衡。重复博弈扩大了策略空间：参与人可以根据历史行动惩罚或奖励对方。

  • 冷酷触发策略：先合作；一旦对方背叛，之后永远不合作。
  • 一报还一报：先合作；随后复制对方上一期行动，特点是友善、报复、宽恕、一致。
  • 有限惩罚：惩罚若干期后恢复合作，在不确定环境中比永久惩罚更稳。
为避免和囚徒困境经典符号混淆，记双方合作收益为 C，单方背叛收益为 D，双方不合作收益为 P。触发策略支持合作的条件是：C/(1-d) ≥ D + dP/(1-d)，即 d ≥ (D-C)/(D-P)。
例题：贴现因子门槛 若 D=3、C=2、P=1，则 d ≥ (3-2)/(3-1)=0.5，合作可维持。若背叛收益提高到 D=3.5，则 d ≥ (3.5-2)/(3.5-1)=0.6。背叛诱惑越大，需要越重视未来。

信息、惩罚与声誉

欺骗越难被发现，合作所需贴现因子越高。社会信息传播速度、品牌、声誉、第三方惩罚、联合抵制，都能影响合作。

考试提醒 有限次重复囚徒困境若阶段博弈唯一均衡为背叛，逆向归纳通常导致每期背叛。但若阶段博弈有多个均衡，或存在不完全信息与声誉类型，有限次重复也可能在前期合作。

8. 不对称信息与信号

事前与事后不对称

非对称信息是交易一方拥有而另一方不知道的信息。签约前的隐藏信息导致逆向选择；签约后的隐藏行动导致道德风险。

类型 别名 典型问题 解决思路
事前不对称 隐藏信息 旧车质量、投保人健康、借款人风险 筛选、信号、品牌、机制设计
事后不对称 隐藏行动 员工努力、经理行为、保险后谨慎程度 激励合同、监督、声誉、风险分担

逆向选择

例题：旧车市场 好车卖方价值 20、买方价值 22；坏车卖方价值 10、买方价值 12。买方若只知道好坏各半，最多按平均质量出价。高质量卖方认为价格太低退出，平均质量进一步下降，最终“坏车驱逐好车”。这就是阿克洛夫柠檬市场。
例题：施舍博弈 若真乞丐概率为 q，施舍的期望收益为 10q+(1-q)(-20)=30q-20；不施舍收益为 0。只有 q>2/3 才施舍。真乞丐得不到帮助，未必因为没有善心，而是因为信息不对称。

信号传递

拥有私人信息的一方通过有成本行动显示类型。信号能区分类型的关键是：不同类型发出同一信号的成本不同，且成本差异足够大。

例题：保修作为质量信号 好车故障概率 Q，坏车故障概率 q，且 Q<q，维修成本 C。若高价 P 与无信号价格 p 的价差满足 QC ≤ P-p < qC，则好车愿意提供保修，坏车不愿提供保修，保修成为分离信号。

解决信息不对称的四类机制

  1. 直接获取信息：调查、审计、精算、评级。
  2. 信号传递：教育、保修、广告、债务水平、加班、品牌。
  3. 机制设计：让信息优势方通过自选择说真话。
  4. 声誉机制：长期品牌和重复交易让撒谎变贵。

9. 机制设计与拍卖

机制设计的本质

机制设计问的是：没有信息的一方如何设计规则，让拥有信息的一方愿意暴露真实类型。核心约束是激励相容和参与约束。

激励相容 IC在给定机制下，如实报告或选择符合自己类型的合同是最优策略。
参与约束 IR参与机制的收益不低于外部保留收益，否则参与人会退出。

保险合同的自选择

保险公司可以提供不同价格和保障水平的合同组合，让高风险与低风险投保人自动选择不同方案。可行合同必须同时满足各类型的 IC 与 IR。

拍卖机制

拍卖形式 规则 策略含义
英国式拍卖 公开升价，最后最高者得 信息逐步披露，常有较高效率
荷兰式拍卖 高价开始逐步降价，先接受者得 适合价值随时间下降的商品
第一价格密封拍卖 最高报价者赢，并支付自己的报价 投标者会低于真实估值出价
第二价格密封拍卖 最高报价者赢，但支付第二高价 真实报价是占优策略，又称 Vickrey 拍卖
例题：为什么 Vickrey 拍卖说真话 你是否赢取决于你的报价是否高于别人；但你赢后支付的是第二高价，不是自己的报价。若低报，可能错失本来有正净收益的物品；若高报，可能赢下估值以下本不该赢的物品。真实报价最优。

显示原理与公共产品

显示原理说，若某个结果能由某机制的贝叶斯纳什均衡实现，就能由直接说真话机制实现。VCG 机制把第二价格拍卖思想推广到公共项目，让每个人承担自己报告对他人造成的外部性。

10. 演化博弈

演化博弈不要求参与人一开始就完全理性，而是研究策略如何在群体中通过模仿、学习和适应扩散。收益高的策略更容易生存。

演化稳定策略 ESS

若群体中大多数采用某策略时，少数突变策略无法入侵，该策略就是演化稳定策略。它把均衡理解为长期稳定的行为模式。

若对任意突变策略 x，有 f(E,E) > f(x,E)，则 E 是 ESS；若二者相等，还需 f(E,x) > f(x,x)。

单元均衡与多元均衡

  • 单元均衡：稳定状态中只有一种策略存在。
  • 多元均衡：多个策略可同时稳定存在。
  • 路径依赖：初始状态和历史冲击会影响最终均衡。
例题：交通协调 如果多数人靠右走，靠右者更容易避免冲突，靠左者收益低。通过模仿与适应，靠右会逐渐扩散并形成稳定习俗。一旦稳定，个体单独改为靠左反而吃亏。

11. 解题工具箱

看到题目先分类

  1. 参与人是谁？策略有哪些？支付如何写？
  2. 行动是同时还是先后？是否能观察历史？
  3. 有没有私人信息？类型概率和信念是什么？
  4. 是一次博弈还是重复博弈？未来是否重要？
  5. 题目要纯策略、混合策略、SPE、BNE、PBE，还是机制设计约束？

常用方法速查

方法 适用题型 操作
划线法 2×2 或有限静态博弈 逐列找行玩家最优，逐行找列玩家最优，交叉处为均衡
剔除劣势策略 策略较多的静态博弈 反复删除永远不优的策略，注意严格/弱劣势区别
无差异条件 混合策略 令对手被混合的纯策略期望收益相等
逆向归纳 有限动态博弈 从最后节点往前求最优行动，剔除不可置信威胁
贝叶斯更新 不完全信息 写先验、信号概率、后验，再求最优行动
IC / IR 机制设计、合同、信号 先保证愿意参与，再保证愿意说真话或自选择
贴现比较 重复博弈 比较长期合作现值与短期背叛加惩罚现值

高频概念一页背诵

  • 帕累托效率：不存在让至少一人变好且无人变坏的改进。
  • 纳什均衡：给定别人策略，自己无利可图地单边偏离。
  • 子博弈精炼：每个子博弈都构成纳什均衡，剔除不可置信威胁。
  • 贝叶斯纳什均衡：各类型在信念下最大化期望收益。
  • 分离均衡：不同类型发不同信号，接收者能识别类型。
  • 混同均衡：不同类型发同一信号，接收者无法区分类型。
  • 激励相容：参与人按机制希望的方式行动是自己的最优选择。
  • 显示原理：可实现结果可由直接说真话机制实现。
  • ESS：突变策略不能成功入侵的稳定策略。

整理依据：工作区内《博弈论补充讲义（一）》至《博弈论补充讲义（十）》及《博弈论知识点总结.md》。

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